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 Suites géométriques.

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Lagalère
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MessageSujet: Suites géométriques.   Mer 12 Sep - 23:04

Bonsoir et encore, bonne rentrée à tous!

Je vous contacte parce que j'ai quelques difficultés à résoudre l'exercice ci-dessous.

Les populations de deux villes A et B sont respectivement de 200 000 et 150 000 habitants. Les projections pour les prochaines années prévoient les évolutions suivantes:
-pour la ville A, une diminution annuelle de 3%.
-pour la ville B, une augmentation annuelle de 5%.
On note respectivement a(n) et b(n) les populations des villes A et B au bout de n années.
On a ainsi a(0)= 200 000 et b(0)= 150 000.
1/ Justifier que les suites (a(n)) et (b(n)) sont des suites géométriques et préciser leurs raisons.
2/ Exprimer a(n) et b(n) en fonction de n.
3/ Déterminer au bout de combien d'années la population de la ville B dépassera celle de la ville A.

Je crois que pour démontrer que les suites (a(n)) et (b(n)) sont géométriques, on prouve que les quotients a(n+1)/ a(n) et b(n+1)/ b(n) sont constants (c'est la raison), à condition que sur N, u(n) différent de 0.

Je vous remercie pour l'aide que vous voudriez bien m'apporter.
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Nakonjo
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MessageSujet: Re: Suites géométriques.   Mer 12 Sep - 23:57

Salut,

1. et 2. [tu modifieras pour la rédaction^^]
Dire que la population diminue de 3,00% tous les ans, revient à dire que sa population est multipliée par 0,97 tous les ans, on peut donc poser :
La suite (a(n)) définie par son premier terme a(0) = 200 000 et par a(n+1) = a(n) x 0,97, la suite (a(n)) est bien géométrique. Son terme général est donc a(n) = 200 000 x (0,97)^n.
Dire que la population augmente de 5,00% tous les ans, revient à dire que sa population est multipliée par 1,05 tous les ans, on peut donc poser :
La suite (b(n)) définie par son premier terme b(0) = 150 000 et par b(n+1) = b(n)
x 1,05, la suite (b(n)) est bien géométrique. Son terme général est donc b(n) = 150 000 x (1,05)^n.

3. On cherche quand la ville B aura plus de population que la ville A, on cherche donc quel est l'entier naturel n tel que : b(n) > a(n)
On pose donc l'inégalité :
150 000 x (1,05)^n > 200 000 x (0,97)^n

Et je crois qu'on en restera la pour ce soir ^^ Je n'ai pas finit ma philo [...] et il est fatigué le Nakonjo ^^ Mais il a plusieurs idées, soit tu continus l'expression ci-dessus, soit tu cherche avec une association de fonction Smile
Voila, bonne continuation, si tu as des questions n'hésite pas !
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Lagalère
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MessageSujet: Re: Suites géométriques.   Jeu 29 Nov - 0:30

Je vous remercie pour l'aide apportée et le temps passé.
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MessageSujet: Re: Suites géométriques.   

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