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 Nombres complexes.

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Lagalère
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MessageSujet: Nombres complexes.   Jeu 11 Oct - 14:05

Bonjour, j'éprouve quelques difficultés à résoudre l'exercice ci-dessous:

On considère le polynôme complexe P défini par: P(z)= z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63.
1/ Calculer P ( i (racine carrée de 3)) et P ( -i(racine carrée de 3)) puis montrer qu'il existe un polynôme complexe Q du second degré à cofficients réels que l'on déterminera tel que, pour tout z appartient C, on ait: P(z)= (z^2 +3)*Q(z).
2/ Résoudre dans C l'équation P(z)=0.
3/ Placer dans le plan complexe les points A, B, C et D d'affixes espectives z(A)= i (racine carrée de 3), z(B)= - i (racine carrée de 3), z(C)= 3+ (2i(racine carrée de 3)) et z(D)= conjugué de z(C) puis démontrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.
4/ On note E le symétrique de D par rapport à O.
a) Ecrire sous forme trigonométrique le quotient ( (z(C)-z(B)) / (z(E)-z(B)) ).
b) En déduire la nature du triangle BEC.

Pour le 1/, j'ai trouvé, par le calcul: P ( i (racine carrée de 3))= 0 et P ( -i(racine carrée de 3))= 0
Les complexes ( i(racine carrée de 3)) et ( -i(racine carrée de 3)) sont donc racines sur le polynôme P.
Ainsi, il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels tels que :
P(z)= (z ( - i (racine carrée de 3)) ) (z ( - i (racine carrée de 3)) ))*Q(z) équivaut à P(z)= (z^2 - ( - i (racine carrée de 3))^2 )*Q(z) équivaut à P(z)= (z^2 +3)*Q(z).
Mais après, je n'arrive plus à continuer.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.
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stardeath
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MessageSujet: Re: Nombres complexes.   Sam 13 Oct - 18:13

alors
1/
Q(z) = az² + bz + c puisque Q est de 2nd degré
P(z) = (z² + 3)(az² + bz + c)
P(z) = az^4 + bz^3 + (3a + c)z² + 3bz + 3c

par identification :
a = 1
3c = 63 => c = 21
b = -6
3b = -18 => b = -6
3a + c = 24 => 3 * 1 + 21 = 24 => 24 = 24

donc :
P(Z) = (z² + 3)(1z² - 6z + 24)

2/
P(Z) = 0 <=> (z² + 3) = 0 ou (1z² - 6z + 24) = 0

(z² + 3) = 0 => z = i 3 ou z = -i 3

(1z² - 6z + 24) = 0, voilà j'ai dégrossi un peu le travail, j'ai un peu la flemme de continuer, si tu as encore besoin hésite pas ^^

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MessageSujet: Re: Nombres complexes.   Jeu 18 Oct - 2:11

Pour cela, je vous en remercie.
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MessageSujet: Re: Nombres complexes.   Jeu 18 Oct - 16:02

t'as réussi à finir?

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MessageSujet: Re: Nombres complexes.   Jeu 18 Oct - 16:30

Oui car le travail a été suffisamment dégrossi^^.
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MessageSujet: Re: Nombres complexes.   Jeu 18 Oct - 18:03

bah c'est cool alors ^^

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MessageSujet: Re: Nombres complexes.   Sam 20 Oct - 9:41

D'ailleurs y'a un excellent cours sur ce site sur les nombres complexes ! Very Happy

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Lagalère
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MessageSujet: Re: Nombres complexes.   Jeu 29 Nov - 0:32

Oui, en effet, c'est ce que j'ai pu constater.
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MessageSujet: Re: Nombres complexes.   Jeu 29 Nov - 19:59

Shinichi a écrit:
D'ailleurs y'a un excellent cours sur ce site sur les nombres complexes ! Very Happy

Ah ?
Ma prof de maths fait mieux

**fait un calin à shinichi qui pleurniche xD**

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MessageSujet: Re: Nombres complexes.   Dim 9 Déc - 2:10

T'es sûrE que je pleurniche mademoiselle ? Ah mon avis, t'as mal entendu, je grogne plutot...
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