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 RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME

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jeffreyscott
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MessageSujet: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Dim 30 Mar - 17:58

Bonjour à tous,

Un exercice me pose quelques problèmes.

Soit un polynome P(Z)=Zexp3+2Z²-Z-1 , Z complexe
Demontrer que si Z0 est une racine de P(Z) alors le conjugué de Z0 est aussi une racine.

Je ne vois pas comment commencer.

Toute aide est la bienvenue.

Merci par avance
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stardeath
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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Dim 30 Mar - 18:42

si je me souviens bien, les racines d'un polynôme complexe sont :

z = (-b i ) / 2a

donc les 2 racines sont leur conjugué mutuellement

je comprends pas trop le but de la question

edit: as tu essayé de calculer P(Z0) et P(conjugué de Z0) ?

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jeffreyscott
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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Dim 30 Mar - 19:29

Merci pour ton aide.
Je ne vois pas pourquoi calculer P(Z0) car Z0 étant une racine alors P(Z0)=0.
Par contre je dois peut-etre definir Z0 mais dans ce cas je ne sais pas comment faire s'agissant de complexe (pas de racine évidente comme dans R).
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stardeath
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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Lun 31 Mar - 0:14

tu as Z0 = a + ib, donc conjugué de Z0 = a - ib

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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Lun 31 Mar - 20:49

Salut.

Pour truver les racines, tu calcules Delta mais comme il sera négatif, tu prends la valeur absolue de Delta que tu multiplies pas i². Ensuite tu applique la méthode habituelle... Mais les solutions auront des i Smile

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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Lun 31 Mar - 21:31

Salut

Je sais calculer Delta pour un polynome de degré 2 (b²-4ac) mais là il s'agit d'un polynome de degré 3?
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R.O.G
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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Lun 31 Mar - 22:12

Salut.
Après une légère recherche, je pense avoir trouvé la solution. Soit Z . Z=a+ib ((a,b)²) et Z racine de P ou P=Z^3+2Z²-Z-1=0=0+0i. Tu remplaces Z par a+ib et à partir de là, essaie de finir (développe, regroupe partie réelle et imaginaire...).

PS : j'ai le calcul complet et ça à l'air de bien fonctionner.


Dernière édition par R.O.G le Mer 2 Avr - 18:34, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Mer 2 Avr - 15:08

(Oops désolé de la réponse... Mais stardeath était parti sur son polynome donc j'ai juste précisé sa réponse... Encore désolé de ma non lecture Embarassed)

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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Mer 2 Avr - 15:55

t'excuse pas ^^

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jeffreyscott
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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Mer 2 Avr - 22:55

R.O.G a écrit:
Salut.
Après une légère recherche, je pense avoir trouvé la solution. Soit Z . Z=a+ib ((a,b)²) et Z racine de P ou P=Z^3+2Z²-Z-1=0=0+0i. Tu remplaces Z par a+ib et à partir de là, essaie de finir (développe, regroupe partie réelle et imaginaire...).

PS : j'ai le calcul complet et ça à l'air de bien fonctionner.

Salut R.O.G.,

J'ai bien saisi ta demarche mais je ne vois pas très bien ou cela peut me mener.

Pour Z0 = a+ib, j'obtiens a^3-3a²b+2a²-2b²-a-1=0 partie réelle
et 3a²b-b^3+4ab-b=0 partie imaginaire mais je ne vois pas quoi faire ensuite...
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R.O.G
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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   Mer 2 Avr - 22:57

Ensuite, tu fais la même chose pou le conjugué a-ib et ...
Je te laisse chercher encore.
Tu sais que a+ib est racine de P donc P(a+ib)=0+0i
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MessageSujet: Re: RACINES COMPLEXES D'UN POLYNOME   

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