problème d'angle maximal (fonction)

bonjours à tous ! j'ai un devoir de maths à rendre pour demain et je n'arrive pas cet exercice... si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympas !

on se propose de calculer la distance OM pour qu'un observateur situé en M au bord du quai sud voit le large sous un angle beta maximal, sa vue étant limitée par les extrémités A et B de deux jetées.

1) soit f la fonction définie sur [0;30] par f(x)= 30x/(x^2+400). Etudier les variations de f.

2) exprimer tan alpha et tan (alpha + beta) en fonction de x.

3) démontrer la formule tan (alpha + beta)= (tan alpha + tan beta)/ (1-tan alpha tan beta)et montrer que tan beta = f(x).

4) la distance OM est inférieur à 30 m. Déterminer x pour que tan beta et donc beta soit maximal. Donner une valeur approchée en degrés, à 10^-2 près, de la valeur maximale de beta.

l'image ci desous représente l'entrée d'un port breton
merci d'avance...

https://i.servimg.com/u/f49/12/09/53/51/dm_mat10.jpg

Oui, je vois.

Quelles sont tes réponses ? Ton raisonnement ?

C'est pour que je vois où sont les difficultés.

1) j'ai trouvé ça, mais je suis pas sur:
https://i.servimg.com/u/f49/12/09/53/51/4_bon10.jpg

2)j'ai trouvé tan alpha=10/x et tan (alpha + beta) = 40/x

3) tan ( alpha + beta ) = sin (alpha + beta) / cos (alpha + beta), mais après je sais pas quoi faire

4) j'ai pas réussi

1)

f(x) = 30x / (x²+400)
x²+400 différent de 0
donc x² différent de -400
x différent de racine de -400, ce qui est impossible dans les réels.
En effet, on a donc f(x) définie pour tout R.

De plus, le tableau de valeur de ta calculatrice admet x = 0.
lorsque x = 0, y = 0.
x = 0 n'est donc pas une valeur interdite.

merci de ton aide...

donc sur [0;15] f est croissante
et sur [15;30] f est décroissante.

Non
f est croissante sur l'intervalle [0;20]
f est décroissante sur l'intervalle [20;30]

a oui daccord j'ai compris...

et pour la 3 et 4 es ce que u peux m'aider un petit peu ?

Démontrer que :


et que


Le seul problème, c'est que je n'arrive pas à visualiser l'image.

je t'envoie un autre lien : https://i.servimg.com/u/f49/12/09/53/51/dm_mat11.jpg
dis moi si ça marche...

alexetstef, je vais essayer de résoudre le souci de mon ordinateur. Je ne sais pas pourquoi mais au lieu des images, m'apparaît une petite croix rouge.
J'ai demandé à R.O.G s'il pouvait t'aider en attendant.

ok, merci
fais moi signe quand ta fini...

Je peux t'aider pour la formule trigo déjà :

Essaie de mettre en facteur (en haut et en bas) et simplifie.

désolé... mais je crois que je n'ai pas tout recçu ton message.

a si c'est bon j'ai tout reçu maintenant.

j'ai réussi !!
pour montrer que tan beta = f(x)
j'ai fais tan beta = tan (alpha+beta) - tan alpha
mais je ne trouve pas le bon résultat...

alexetstef a écrit:

pour montrer que tan beta = f(x)
j'ai fais tan beta = tan (alpha+beta) - tan alpha Faux

Sers toi de la formule de la question 3) et la question 2) !

merci de ton aide!

donc ça fais:

40/x= ((10/x)+tan beta)/ (1-(10/x)tan beta)

mais après je suis bloqué.....

Il faut essayer de "passer" tous les x d'un côté et les tan bêta de l'autre.

je m'embrouille la...

j'ai trouvé:

-tan beta ²= 10X/(1-10X) - 40/X

mais ça m'étonnerais que ce soit ça...

non c'est bon j'ai réussi en faite..
et pour la question 4 tu peux m'aider un peu?

Là, ce n'est pas compliqué. Tu sais que f a un maximum en un certain point x0 et que ce maximum vaut ... (d'après la question 1))
Mais comme f(x) = tan(bêta) bêta = ...
Et tan bêta est maximal si x=x0.
Il faut combler mes trous. Voilà