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 Arithmétique - PGCD PPCM

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Eximma
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MessageSujet: Arithmétique - PGCD PPCM   Mar 6 Mai - 19:03

Bonjour bonjour !

j'ai un DM de mathématiques (spé) à faire et je coince sur une partie de celui-ci, voici l'exo en question :

__________

Soit a, b deux entiers naturels non nuls. On note d le PGCD de a et b

1. Montrer que PGCD(a ; a+b) = PGCD(b ; a+b) = d

2. En déduire que PGCD(ab ; a+b) divise a*d et b*d, puis que PGCD(ab ; a+b) dovose [PGCD(a;b)]²

_________

Soit a, b deux entiers naturels non nuls. On note d le PGCD de a et b, on pose a=da' et b=db'

3. Exprimer PPCM(a ; b) et a+b en fonction de a', b', d.

4. En utilisant la question 2, démontrer que PGCD( PPCM(a ; b) ; a+b) = PGCD(a ; b))

___________

Voilà, la question 1 j'ai réussi avec la propriété fondamentale (a+b = a*1 + b) mais le reste je ne sais pas du tout comment m'y prendre, et je suis complètement à cours de temps :/

Merci d'avance à ceux qui m'aiderons !

NB : et oui un admin ça peut aussi poser des questions ^^

NB2 : ceux qui m'aiderons pas seront banni (ok je sors xD)

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stardeath
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MessageSujet: Re: Arithmétique - PGCD PPCM   Mar 6 Mai - 22:02

pouah alors là, je sais pas, moi et la spé maths ...

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Eximma
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MessageSujet: Re: Arithmétique - PGCD PPCM   Mar 6 Mai - 22:03

stardeath a écrit:
pouah alors là, je sais pas, moi et la spé maths ...

Je te le fais pas dire... J'adore les maths, mais la spé berk (je trouve pas forcément la prof super aussi mais bon, affaire de goûts) ^^

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MessageSujet: Re: Arithmétique - PGCD PPCM   Jeu 8 Mai - 14:49

1) On peut déduire d'une formule du cours :
PGCD(a; b) = PGCD(a; a + b) = PGCD(b; a + b) = d

2)On peut démontrer que PGCD(a; b)|PGCD(a; kb) où k Z .
On a PGCD(ab; a + b)|PGCD(ab; a(a + b))
Mais PGCD(ab; a(a + b)) = ad d'où PGCD(ab; a + b)|ad. P
On obtient de même : GCD(ab; a + b)|bd.
On a de plus, d'après le théorème de Bézout, (u;v) Z² tel que au+bv=d.
Comme PGCD(ab;a+b) divise ad et bd, par combinaison linéaire :
PGCD(ab;a+b)|uad+vbd=(au+bv)d
PGCD(ab;a+b)|d²

3)PPCM(a; b) = a'b'd et (a + b) = (a'+b')d

4)On peut démontrer que PGCD(a';b')=1
PGCD(PPCM(a;b);a+b)=dPGCD(a'b';a'+b'). D'après la question 2), PGCD(a'b';a'+b')|PGCD(a';b')²=1²=1
D'où PGCD(PPCM(a;b);a+b)=d

Je n'ai pas trop détaillé, si jamais il y a des questions, tu sais quoi faire !!!
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Eximma
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MessageSujet: Re: Arithmétique - PGCD PPCM   Ven 9 Mai - 12:54

Ah merci pour la réponse mais on fait le pont là donc je n'ai pas rendu mon DM mercredi (j'allais pas rendre un gruyère) !

Sinon, ça veut dire quoi tes | exactement ? scratch

merci en tout cas pour ton aide, je posterai là correction quand je l'aurais Wink

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MessageSujet: Re: Arithmétique - PGCD PPCM   Ven 9 Mai - 13:20

Ce symbole signifie "divise".
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