suite et recurrence

pouvez vous m'aider s'il vous plait je n'arrive pas du tout, merci

suite Un définie sur N par
U1=3 et
Un+1=2 -(1/Un+2)
1) demontrer que pour tout n≥ 1 Un existe et Un superieur à 0.
2)calculer Un+1 - racine de 3 en fonction de Un puis mettre Un- racine de 3 en facteur dans l'expression obtenue.
3) montrer par récurrence que pour tout n superieur à 0 Un superieur à racine de 3
4)montrer que la suite Un est décroissante.

--------------------------------------------------------------------------------------

pour la 1) j'ai commencé à faire:

* prenons n=1 Un superieure à 0
U1 superieur à 0
3 superieur à 0. Donc c'est vrai.

*K appartient N
si Uk superieur à 0 a t-on Uk+1 superieur à 0 ?
2 - 1/Un+2 supe à 0
equivaut à --> 2(Un+2)-1 supe à 0
2Un+3 supe à 0
Un supe à -3/2
------------>ensuite je suis bloqué!

2)J'ai remplacer Un+1 par sa valeur et j'ai trouvé comme resultat:
2Un+3/ Un+2 - raicine de 3

4) et 3) je ne sais pas du tout quoi faire

merci encore

il s'agit bien de ?

oui!

EDIT : pour la 1), c'est plus ou moins ce que t'as fait mais c'était pour te montrer comment rédiger.

Code source :
\begin{flushleft}
{\scriptsize
% vous n'avez plus qu'a ecrire ici...
1) L'existence des termes de la suite se demontre en meme temps que le fait qu'elle soit positive. L'idee de recurrence est bonne.\\
Tu poses l'hypothese de recurrence HR : $\forall n \in N* , U_{n} \geq 0$ \\
Tu montres que c'est vrai au rang n=1 puis tu dis :\\
On suppose que HR est vrai au rang n, on veut montrer qu'elle est vraie au rang $n+1$ :
$$U_n \geq 0 \Rightarrow U_n+2 \geq 2 \Rightarrow \frac{1}{U_n+2} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow 2-\frac{1}{U_n+2} \geq \frac{1}{2}$$
Donc c'est demontre au rang $n+1$ donc d'apres le principe de recurrence, c'est vrai pour tout n.\\
2) et 3) J'ai rien pige a l'enonce en fait...\\
4) pour montrer qu'une suite est decroissante, il suffit de montrer que $U_{n+1}-U_n \leq 0$ .
}
\end{flushleft}

merci beaucoup pour ton aide shinichi

Mais la question 2) et 3) m'embête beaucoup je n'arrive pas à trouver la bonne valeur,
moi je trouve: Un+1- racine de 3 = 2- (1/Un+2) - racine de 3
=2Un+3- racine de 3

pouvez vous m'aide s'il vous plait!!
merci

J'ai essayer de mieux écrire le sujet et sa me donne:

suite Un définie sur N par
U1=3 et
Un+1=2 -(1/Un+2)
1) demontrer que pour tout n≥ 1 Un existe et Un > 0.
2)calculer Un+1 - racine de 3 en fonction de Un puis mettre Un- racine de 3 en facteur dans l'expression obtenue.
3) montrer par récurrence que pour tout n > 0 Un > racine de 3
4)montrer que la suite (Un )est décroissante.


1) * prenons n=1 Un > 0
U1 > 0
3 > 0. Donc c'est vrai.

*K appartient N
si Uk > 0 a t-on Uk+1 > 0 ?
Uk > 0 equivaut à Uk+2 >2 equivaut à 1/Uk+2 < 1/2 equivaut à 2- 1/Uk+2 > 1/2
donc c'est demontré au rang k+1 donc d'après le principe de recurrence, c'est vrai pour tout k.

2)J'ai remplacer Un+1 par sa valeur et j'ai trouvé comme resultat:
2 - (1/Un+2) - raicine de 3
equivaut à 2Un + 3 - racine de 3.---->ensuite je suis bloqué.....

3) je n'y arrive pas

4) je montre que Un+1 - Un < 0
mais je trouve pas.....

merci encore!

merci beaucoup!! J'ai beaucoup mieux compris maintenant!