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 resoudre une des plus célébre formule d'euler

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lachite
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MessageSujet: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 30 Oct - 19:37

Bonjour,
j'ai un dm à faire pendant les vacances et je n'arrive pas à le commencer
Le but du problème est de montrer que
resoudre une des plus célébre formule d'euler 718cfd2d06778846ccf7be23959ce7a8

notations: on a : resoudre une des plus célébre formule d'euler 55abc1b51f931f36b7d8f52a5a7a9acb
et on designe f par l'apllication resoudre une des plus célébre formule d'euler Bce7344cf6b1a5dd323395882f9c2f6e qui es clairement definie sur resoudre une des plus célébre formule d'euler 64d37a714396c531fe377c21f634e042 et à valeur dans resoudre une des plus célébre formule d'euler C3e6700add85289c6b55a99e79fb57c7

Pour cela il y a plusieurs parties.
Partie I :Etude de f et résolution de l'équation (En)

on écrit que resoudre une des plus célébre formule d'euler Bce7344cf6b1a5dd323395882f9c2f6e
dont on en deduit l'expression resoudre une des plus célébre formule d'euler 7e1276b09547ed2d8744503aef1af21c pour tout entier naturel n

1. Soit resoudre une des plus célébre formule d'euler Cdbf5bafa50eed6720cf5b2501fe678f
A quelle(s) condition(s) sur resoudre une des plus célébre formule d'euler 9662686eb2b98ef5262cd232cd4768f2 l'équation f(z) = resoudre une des plus célébre formule d'euler 9662686eb2b98ef5262cd232cd4768f2 admet-elle des solutions ?

Et voila je bloque sur la premiere question ! Je comprend pas car on ne connait pas resoudre une des plus célébre formule d'euler 9662686eb2b98ef5262cd232cd4768f2 confused

Merci d'avance


Dernière édition par lachite le Jeu 30 Oct - 20:38, édité 2 fois
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Redola
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 30 Oct - 20:26

il suffit d'écrire ce que l'équation signifie....

f(z)=w <=> (z-i)/(z+i)=w => z-i=w(z+i) <=> (1-w)z-(1-w)i=0

or cette relation doit être vrai pour tout z de Df ainsi, pour que cette expression soit vérifier, il faut que 1-w=0....
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lachite
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 30 Oct - 20:45

Donc les conditions sur resoudre une des plus célébre formule d'euler 9662686eb2b98ef5262cd232cd4768f2 est qu'il doit étre différent de 1

Je me demandais juste si l'équation ça ne serait pas (1-w)z-i(1+w)=0 ?
Donc w doit etre différent de -1 et w différent de 1 ??

Merci d'avance
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 30 Oct - 20:48

erreur dans mon précédent message (je veux faire trop de chose en tappant sur mon pc lol)
l'équation est:

(1-w)z-(1+w)i=0

Deux cas:

- w=1 dans ce cas, (1+w)i=0 => pas de solution

- w n'est pas égal à 1, et on obtient z=(1+w)i/(1-w)


Dernière édition par Redola le Jeu 30 Oct - 20:56, édité 3 fois
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 30 Oct - 20:54

pas de probleme =)
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 30 Oct - 20:56

voila, normalement, plus d'erreurs ^^
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 30 Oct - 21:00

Merci beaucoup
je vais regarder la suite et je reviendrais au cas ou
Encore merci
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 30 Oct - 21:01

mais de rien, le plaisir est pour moi ^^
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeVen 31 Oct - 15:26

Dans cette question 1) il y a une sous question qui est
Lorsqu'elle admet, calculer ses solutions et montrer qu'elles sont distinctes de -i.

J'ai repondu :f(z)= (z-i)/(z+i) avec zdifférent de -i
donc le resultat que l'on obtient avant qui est z=(1+w)i / (1-w) est différent de -i

Est ce que c'est juste ???

2) En deduire que f realise uen bijection de resoudre une des plus célébre formule d'euler C3e6700add85289c6b55a99e79fb57c7\{-i}sur resoudre une des plus célébre formule d'euler C3e6700add85289c6b55a99e79fb57c7\{1}et expliciter sa reciproque resoudre une des plus célébre formule d'euler 036458edfece0e621e1e132327e03ad2

Je sais que pour montrer que f realise une bijection il faut montrer que f est continue, strictement monotone surresoudre une des plus célébre formule d'euler C3e6700add85289c6b55a99e79fb57c7\{-i}, alors f realise uen bijection de resoudre une des plus célébre formule d'euler C3e6700add85289c6b55a99e79fb57c7\{-i} sur resoudre une des plus célébre formule d'euler C3e6700add85289c6b55a99e79fb57c7\{1}
Mais je vois pas comment on peut faire ici !?!

3) soient resoudre une des plus célébre formule d'euler 8fc709008719a8f1bf6a4576e10a47ed\{-i} et resoudre une des plus célébre formule d'euler 47a63247321e6c0c98395833d61c5607\{1} VErifier que resoudre une des plus célébre formule d'euler 85f7d87fd5fee683fba0e758dfb3cfd2

Je pense avoir trouver pour la première :
resoudre une des plus célébre formule d'euler 68cdb24e527e2f9ee3735db93b051cbc
Je dois rien dire d'autre ?
et pour la deuxième je bloque, j'écrit ça : resoudre une des plus célébre formule d'euler 5095786254b33c3794ac84ccadcec5a2

3) Etude de la restriction de f à H
1) Montrer que resoudre une des plus célébre formule d'euler C3df44769e0ba0e584460cc21d7ef3f7

Et la je vois pas comment je peux faire

MeRci d'avance pour votre aide ! Very Happy
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeVen 31 Oct - 19:19

pour la 1 as tu démontré que z n'est pas égale à -i pour toute valeur de w?




pour la 2, La vraie définition d'un bijection est:

pour tout y de l'ensemble d'arrivé, il existe un unique x de Df tel que f(x)=y

En effet, le terme de monotone est délicat en ce qui concerne les complexes....

Pour démontrer la bijection, procède en deux étapes:

il faut que tu démontre l'existence d'un x pour tout y de C privé de 1 (tu l'as déja fait en disant que l'équation avec w admet des solutions)

Il faut maintenant que tu prouves l'unicité. Pour cela suppose qu'il n'y a pas unicité, donc qu'il existe x1 et x2 dans Df tels que f(x1)=f(x2)



Pour la 3, je ne suis pas du tout d'accord avec ton raisonnement (le module d'une somme n'est pas la somme des modules) ^^

resoudre une des plus célébre formule d'euler Exo1ue9

En ce qui concerne f^-1(w), ce n'est pas 1/f(w)...
en fait, pour t'expliquer, c'est ce qu'on appelle la fonction réciproque:
f(z)=w => f^-1(w)=z

Avec cette explication, tu devrais t'en sortir mieux Smile





Pour la suite, on verra plus tard :p, fais déja cela Smile


(PS: tu as ce problème à faire en TS???)
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeSam 1 Nov - 2:13

Tout d'abord désollé c'est vrai que j'ai oublié de changer mon profil avec le début de l'année scolaire, je suis en classe préparatoire PCSI.

pour la question 1)
dans la première partie on a dit que z=(1+w)i / (1-w) avec w différent de 1

et dans la 2eme partie la question est : Lorsqu'elle en admet, calculer ses solutions ( donc je pense que c'est ce qu'on a deja calculer z=(1+w)i / (1-w) avec w différent de 1) et montrer qu'elles sont disctintes de -i.
Et là J'ai repondu :f(z)= (z-i)/(z+i) avec z différent de -i
donc le resultat que l'on obtient avant qui est z=(1+w)i / (1-w) est différent de -i

C'est bon ?

JE vais travailler ce que tu m'as dis
Merci beaucoup
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeSam 1 Nov - 15:13

Pour la question 2 : En deduire que f réalise de C\{-i} sur C \{1} et expliciter sa réciproque f^-1

Alors j'ai écrit (est ce que je dois écrire on démontre l'existence du'n x pour tout y de C\{-i} ?? ou j'écrit directement la réponse ??)
Il existe bien un resoudre une des plus célébre formule d'euler 8fc709008719a8f1bf6a4576e10a47ed \{-i}, d'après la question précédente, pour tout w de C\{-i}

(prouver l'unicité)
On suppose qu'il n'y a pas d'unicité, donc qu'il existe z1 et z2 dans C\{-i} ( ou Df ???) tels que f(z1)=f(z2)
Donc f(z1)=f(z2)=w
donc resoudre une des plus célébre formule d'euler 4a3dfaa36c18d6fe730c91ee99d913cf
donc il y a bien unicité

donc f realise une bijection de C\{-i} sur C \{1} et expliciter sa réciproque f^-1

Mon raisonnement est juste ??? Question

Pour sa reciproque je vois pas trop ce qu'il veulent dire par l'expliciter.
Je dirais bien qu'elle varie comme f de C\{-i} sur C \{1}
Il faut dire autre chose ?


Question 3)
après avoir repris ce que tu m'as dit
j'ai ecrit : resoudre une des plus célébre formule d'euler 9930103313901f888aeca0e2ec39691e
Mais là j'ai un petit problème : resoudre une des plus célébre formule d'euler 5dcb7068c6984358c1fdf7228a44db31

et pour la deuxième partie de la 3)
f(z)= w donc f(w)^-1 =z
resoudre une des plus célébre formule d'euler A8fff2085ac45b45e8df047a26fc5374
Mais la je bloque.

Merci d'avance pour ton aide !
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeDim 2 Nov - 16:44

Pour le 2, ta démonstration est juste, tu as bien démontré la bijection ainsi que l'existence de f^-1.

Pour expliciter f^-1, bah en fait, tu l'as fait dans le 3 en disant f^-1(w)=...




Pour la 3 avec le module, tu as bien commencer. Mais avant de conclure, détail bien les choses (z=a+ib) et la, tu devrais voir où se situe ton erreur (mais tu es sur la bonne voix Smile)

Cependant, en ce qui concerne la partie imaginaire de f^-1(w), tu as fait une grosse erreur... w est un complexe... donc w=c+id..... réfléchis à cela Smile
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MessageSujet: RE   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeDim 2 Nov - 18:55

Merci beaucoup pour ton aide Very Happy



Pour la deuxieme partie du petit 3
Im (f^-1(w)) = Im {(i+wi) / ( 1-w)

= Im { (i+xi-y) / ( 1-x-iy)} avec w =x+iy

(on multiplie par le conjugue du denominateur et on developpe )

j'obtiens

= Im (-2y / ((1-x)²+y²) + i { (1-x²-y²)/((1-x)²+y²))

=(1-x²-y²) / ( (1-x)²+y²)

= 1- |w|² / (|1-w|²)



Parti 3 : Etude de la restrction de f a H

1) montrer que resoudre une des plus célébre formule d'euler C3df44769e0ba0e584460cc21d7ef3f7

soit z appartenant a H donc z appartenant a C/ Im(z)>0

or on sait que z = f^-1 (w)
donc que Im(z) = Im(f^-1(w))
et la j'ai developpé mais je ne sais pas si c'est la meilleur methode car ça ne me donne rien de concret et je reste bloqué.

Sinon j'ai essayer avec

resoudre une des plus célébre formule d'euler 9930103313901f888aeca0e2ec39691e

(celle de gauche !!)

et j'ai essayer d'isoler le Im(z)

et sa me donne Im(z) = ( |z|²+1 + |z|²* |f(z)|² + |f(z)|²) / 2( 1+|f(z)|²) >0



donc |z|² > (-1- |f(z)|² ) / ( 1- |f(z)|²)



Mais bon la aussi je met un bemol ...
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeLun 3 Nov - 21:40

f^-1(w)=z

Im(z)>0 => Im(f^-1(w))>0 <=> 1- |w|² / (|1-w|²)>0
=> 1- |w|² >0 <=> 1> |w|² donc w appaertient à D donc f(z) appartient à D....
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeLun 3 Nov - 22:13

Merci beaucoup !!!

la question qui suit et en relation directe avec cette derniere
En deduire que f réalise une bijection de H sur D.

d'apres la question précédente, il existe bien un z apartenant à H ainsi qu'à D pour tout w.

est ce qu'il faut aussi prouver l'unicité ?
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeMar 4 Nov - 21:54

biensur qu'il faut prouver l'unicité ^^
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeMar 4 Nov - 22:12

Pour la prouver je fais comme on a fait la derniere fois ?
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeMar 4 Nov - 22:26

C'est bon je pense que j'ai compris comment faire

question suivante 4)
1) Montrer que z appartient a R <=> f(z) appartient U\{1}


soit z appartenant a R <=> z appartenant C \ Im(z) =0
|f(z)|² = |z|² +1 - 2 Im(z) / |z|² +1 + 2 Imp(z) mais Im(z) = 0
donc |f(z)|² = |z|² +1 / |z|² +1 = 1
donc |f(z)| = 1
CQFD

Ca va comme méthode ?

2) Il faut en deduire la bijection donc je vait refaire comme precedement

5) Verifier que f^-1 (ei ^O) = - cotan (O/2)
j'ai reussi ^^

6) REsolution de l'eaquation (En)
1) Montrer que z est solution de (En) si et seulement
(z appartenant C\{-i} et f(z) appartenant U(2n+1) \{1} )


La j'ai du mal il faux utiliser les bijection ??

Merci d'avance pour ton aide
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 6 Nov - 0:35

je verrai cela demain, je n'ai pas le temps aujourd'hui ^^
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 6 Nov - 20:12

Ce que tu as fait me parait bon Smile

Pour la question pour laquelle tu as du mal... il suffit d'écrire l'équation et la réponse apparait tout de suite Smile

Réfléchis encore un petit peu et dis le moi si tu ne trouves pas Smile
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 6 Nov - 21:35

Oui c'est bon j'ai reussi à trouver ! Smile et j'ai fait un maximum de question et j'ai donc rendu mon DM aujourd'hui

MERCI beaucoup pour ton aide c'était vraiment sympas !!!
Very Happy I love you
MERci
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitimeJeu 6 Nov - 21:39

mais de rien Smile

bon courage pour la suite de la prépa, je ne pourrai surement pas toujours t'aider comme ici, je le fais sur mes souvenirs de prépa (qui commence à dater) et dans certains domaines, je risque d'être limite (enfin, avec du temps, ça irai surement ^^)

Si tu as besoin de conseils sur la "gestion" de la prépa ou sur les orientations post prépa, n'hésites pas non plus Smile
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MessageSujet: Re: resoudre une des plus célébre formule d'euler   resoudre une des plus célébre formule d'euler Icon_minitime

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