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 DM de maths sur les limites de fonctions (TS)

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hyaline00
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Nombre de messages : 1
Classe/Métier (si enseignant, précisez) : lycéenne
Date d'inscription : 12/10/2008

MessageSujet: DM de maths sur les limites de fonctions (TS)   Dim 12 Oct - 20:10

Bonjour,
J'ai des difficultés avec un DM, j'aurai besoin d'aide s'il vous plait. Je vous recopie l'énoncé.

D'un satellite situé à la verticale de pôle nord, on observe la calotte terrestre. L'objet du problème est d'étudier la relation entre 'l’altitude et la distance de l'observation à l'horizon, en particulier pour des positions très proches ou très éloignées de la terre.

I Relation algébrique entre l'altitude et la distance à l'horizon

La Terre est assimilée à une sphère de centre C de rayon R = 6363 km. Dans la plan méridien, P désigne le pôle nord, O la position de l'observateur et H le point visé à l'horizon. On note en kms, x l'altitude OP et y la distance Oh de l'observateur à l'horizon. Exprimer y en fonction de x
J'ai trouvé que y= :rac:(x²+12726x)

II Etude d'une fonction f

Dans la suite, on note f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)= :rac:(x²+12726x). C est la courbe représentant f dans un repère.

1/ L'observateur est très proche de la Terre

a/ Etudier la limite de f(x)- :rac:(12726x) en 0. Interprétez graphiquement le résultat.
J'ai trouvé que la limite est 0, mais j'ai du mal pour l'interprétation. J'ai penssé qu'il pouvait y avoir une asymptote oblique, mais vu que ce n'est pas une fonction affine je doute que ca soit juste.

b/ Démontrer que pour tout réel x de [0;1], :rac:(12726x)≤f(x)≤ :rac:(12727x). Interpréter graphiquement ces inégalités.
J'arrive à :rac:(12726x)≤f(x)≤ :rac:(1+12726x).

c/ Démontrer que pour tout réel x appartenant à ]0;1], :rac:(12726/x)≤f(x)/x.
En déduire la limite en 0 de la fonction f(x)/x. La courbe C admet-elle une tangente à l'origine?
J'arrive à :rac:(12726)/x≤f(x)/x .

d/ Utiliser les résultats précédents pour donner une approximation de la distance à l'horizon lorsque l'altitude est de 10 mètres.

2/ L'observateur est très éloigné de la Terre

a/ Etudier la limite de f en +∞.
Je trouve +∞.

b/ Démontrer que pour tout réel x≥0, x≤f(x)≤x+6363.
Interpréter graphiquement cet encadrement
Je trouve f(x)≥ :rac:(12726).

c/ Démontrer que pour tout réel , f(x)-(x+6363) = (-6363²) / :rac:(x²+12726x)+x+6363
En déduire que lim [f(x)-(x+6363)]=0 quand x tend vers +∞. Interprétez graphiquement cette limite.
Je trouve que la droite d'équation y=x+6363 est asymptote oblique à la droite.

Merci d'avance
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