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 thérème des valeurs intermédiares

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majorette
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MessageSujet: thérème des valeurs intermédiares   Dim 9 Nov - 17:05

bonjour, j'ai un petit exercice à faire , mais je ne sais par où commencer c'est le n exposant qui me gène... si vous pouvait me donner quelques pistes je vous en serait très reconnaissante

soit n un entier strictement positif et f n la fonction définie tel que
fn(x)=x^n+x-1

1) montrer que l'équation fn(x)=0 a une solution unique qui appartient à l'intervalle ]0;1[.

2) retrouver ce résultat en considérent les représentation graphique des fonction x a qui on associe x^n ET x à qui on associe -X+1

3)on note u la solutuion de léquation fn(x)=0
déterminer une valeur à 10^-2 près de u1, u2 et u3



merci par avance
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Shinichi
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MessageSujet: Re: thérème des valeurs intermédiares   Dim 9 Nov - 22:28

1/ f(0)= -1 et f(1)=1 ensuite avec le théorème des valeurs intermédiaires, tu as :
f(0)= -1 <0 et f(1)=1 >0 et f est continue sur [0,1] alors le théorème des valeurs intermédiaires dit qu'il existe un a de [0,1] tel que f(a)=0.
N'oublie pas la continuité, tu dis que f est continue car elle est composée de fonctions continues (fonction puissance n, fonction identité et fonction constante égale à 1 sont admises continues)

2/ je vois pas trop ce que le prof veut...

3/ c'est quoi u1 u2 et u3 ?

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MessageSujet: Re: thérème des valeurs intermédiares   Dim 9 Nov - 22:42

par contre shinichi je pense que tu as oublié la stricte monotonie pour dire que la solution est UNIQUE Wink

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majorette
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MessageSujet: Re: thérème des valeurs intermédiares   Lun 10 Nov - 19:24

merci, moi non plus je n'ai pas cmpris la deuxième question
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Eximma
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MessageSujet: Re: thérème des valeurs intermédiares   Lun 10 Nov - 21:34

Eh bien tu as x^n+x-1 = 0 <=> x^n=-x+1 ie l'intersection de x^n et de la droite -x+1

Pour n impair tu peux déjà dire que la solution est unique vu que x^n impair est strictement croissant et prend toutes les valeurs de R, donc croise forcément la droite en un unique point.

Pour n pair, tu travailles sur [0,1] donc tu sais que comme la fonction est strictement croissante sur R+ (donc sur [0,1]) avec 0^n = 0 et 1^n = A donc à valeur dans [0,1].
x-> -x +1 est strictement décroissante, et pour x € [0,1], f(x)€[0,1] donc il y aura forcément un point d'intersection entre les deux coubes.

Voilà, ce n'est surement pas rédigé super super bien, mais je pense que le principe est là Wink

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Shinichi
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MessageSujet: Re: thérème des valeurs intermédiares   Lun 10 Nov - 21:35

ouip Eximma, j'avais pas fait attention à l'unicité de la solution.Smile

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MessageSujet: Re: thérème des valeurs intermédiares   Lun 10 Nov - 21:45

merci beaucoup!!
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MessageSujet: Re: thérème des valeurs intermédiares   Mar 11 Nov - 3:20

pas de problème ^^

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