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 Théorème (D'Al Kashi)

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Sourire62
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Date d'inscription : 20/09/2008

MessageSujet: Théorème (D'Al Kashi)   Jeu 13 Nov - 21:00

Bonjour,
Voici mon problème

Exercice : Le but de cet exercice est de démontrer le théorème d'Al Kashi énoncé ci-dessous :
Théorème (Al Kashi) : Dans un triangle ABC quelconque, on a
a²=b²+c²-2bcCos(BAC)

Ce théorème est une extension du théorème de Pythagore dans le sens où il "marche" même si le triangle n'est pas rectangle.

1) Refaire la figure ci-dessus triplant les longueurs. On obtiendra alors un triangle semblable à celui de l'énoncé. Que peux t'on dire des angles de ces deux triangles ? Noter par a, b et c les longueurs BC,AC et AB.
2) Placer H, pied de la hauteur issue de C et noter par x la longueur AH. Que vaut HB en fonction de x ?
3) Démontrer rigoureusement les égalités suivantes :
a) a²=HC²+x²+b²-2bx
b) x=cCos(BAC)
c) HC = cSin(BAC)
4) En déduire que a²=b²+c²-2bcCos(BAC)
5) Si ABC est un triangle rectangle en A, que devient ce théorème. Justifier.
6) Application : Tracer le triangle DEF vérifiant DE=5cm, EF=7cm et DEF=50°, puis déterminer par le calcul toutes les autres dimensions de ce triangle.

Ce que j'ai fait :

1) Alors, j'ai triplé les longueurs du triangle.
BC= 3.2cm
BCx3=3.2x3=9.6cm
AC=3cm
ACx3=9cm
AB=2.6
ABx3=2.6x3=7.8cm

Les côtés des deux triangles sont proportionnels, alors ces 2 triangles sont semblables.
Si les 2 triangles sont semblables alors les 3 angles sont égaux aux 3 autres angles.

2) HB=AB-x

3) a) je n'ai pas réussi .. >.<
b) x=cCos(BAC)
Dans le triangle ABC
Cos BAC = Cos HAC
Cos HAC = AH/AC = x/c
donc x = cCos HAC
Comme Cos BAC=Cos HAC x=cCos (BAC)

c) HC=cSin(BAC)
Dans lee triangle AHC
Sin BAC= HC/AC = HC/c
donc HC = cSin (BAC)

J'ai fait la 6 directement.

6) Donc j'ai tracé le triangle qu'il demande.

Pour trouver DF
Dans le triangle DEF SinE = DF/DE
Sin 50°=DF/7
DF=Sin50°x7
DF= environ 5.4cm

Pour trouver DFE
Dans le triangle DEF sin DFE = DE/FE

sin DFE =7
Sin DFE= environ 0.714 donc DFE = environ 46°

pour trouver EDF
Dans un triangle la somme des angles est de 180°
donc DEF+EFD+FDE=108°
50+46+FDE=180 donc FED=180-(50+46)
FDE=84°

Pouvez-vous me dire si ce que j'ai fait est correct, merci

Amicalement
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Sourire62
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MessageSujet: Re: Théorème (D'Al Kashi)   Dim 16 Nov - 15:09

J'ai réussi à faire l'exercice

merci quand même

Plus besoin de vos réponses Smile

Amicalement
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Théorème (D'Al Kashi)
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