Devoir-Maison De Maths Sur Les Probabilités

Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie.
On admet que, si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilité pour qu'elle perde la partie suivante est 0,7.
On note pour n entier naturel non nul :
Gn l'événement" Juliette gagne la n-ième partie "
Pn l'événement " J. perd la n-ième partie".

PARTIE A :
1) Déterminer les probabilités P(G1), PG1(G2), et PP1(G2)
2) Calculer P(P2)

PARTIE B :
On pose pour nentier naturel non nul,
xn=P(Gn) et yn=P(Pn)
1) Déterminer les probabilités :
PPn( Pn+1)et PGn(Gn+1)
2) Montrer que :
xn+1=0.6xn+0.3yn
yn+1=0.4xn+0.7yn
3) Pour n entier naturel non nul, on pose :
vn=xn+yn et wn=4xn-3yn
a) Montrer que la suite (vn) est constante de terme géneral égal à 1.
b) Montrer que la suite (wn) est géométrique et éxprimer wn en fonction de n.
4)a)Déduire du 3), l'éxpression de xn en fonction de n.
b) Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite

Le problème c'est que je bloque à partir du 3b) je trouve Wn=Wo×0.3n
Mais je trouve pas Wo !
Et du coup je peux pas faire la suite !!
Merci de m'aider !!

peux tu nous mettre les réponses des question sd'avant (j'ai la flemme lol)

Partie A :

1) P(G1)=1/2
PG1(G2)=0.6
PP1(G2)=0.3
2)P(P2)=0.55

Partie B :

1)PPn( Pn+1)=0.7
PGn(Gn+1)=0.6
2)xn+1=0.6xn+0.3yn
yn+1=0.4xn+0.7yn
3)a)vn=xn+yn
=P(Gn)+P(Pn)
=0.5+0.5
=1
b)Wn+1/Wn=(4xn+1-3yn+1)/(4xn-3yn)
=(1.2xn-0.9yn)/(4xn-3yn)
=0.3(4xn-3yn)/(4xn-3yn)
=0.3
Donc Wn suite géométrique de raison 0.3 donc Wn=Wo×0.3n
Il n'y a pas de terme Wo car il n'y a pas de termes xo et yo
Mais on a x1=P(G1)=0.5 et y1=P(P1)=0.5 donc
W1=4*0.5-3*0.5=0.5
et Wn=0.5*0.3^(n-1)
La 4) je ne trouve pas!!
Merci de repondre
^^

Il s'agit de resoudre un système :
yn=1-xn
wn=4xn-3yn

yn=1-xn
wn=4xn-3(1-xn)

yn=1-xn
wn=7xn-3

Et ensuite xn=(wn+3)/7
Et pour la 4) on montre que xn est soit decroissante et minoré , soit croissante et majoré ?

C'est faux ?

Je regardes ca, quelques minutes!

Bon, tout est bon jusqu'à... la 3)a.

La tu as marquée, vn=xn+yn=0.5+0.5=1

Je ne suis pas d'accord! Ceci est vrai que pour la premiere partie! Apres tu ne sais pas que les probabilités de gagner ou de perdre sont de 0.5. C'est pour cela qu'on a introduit les xn et les yn.

Il faut donc faire une reccurence avec Pour tout n appartient à N* la propriété dependant de n suivante:
Pn:"vn=xn+yn=1".

Citation :

Donc Wn suite géométrique de raison 0.3 donc Wn=Wo×0.3n
Il n'y a pas de terme Wo car il n'y a pas de termes xo et yo
Mais on a x1=P(G1)=0.5 et y1=P(P1)=0.5 donc
W1=4*0.5-3*0.5=0.5
et Wn=0.5*0.3^(n-1)
La 4) je ne trouve pas!!
Merci de repondre

L'énoncé parles d'entiers non nuls... tu commence donc ta suite à 1! pas besoin de tout se charabia (qui aboutut à quelque chose de faux d'ailleurs...)
D'accord, xn=(wn+3)/7, or wn = w1 x (0.3)^n = 0.5 x (0.3)^n
Donc xn= (w1 x (0.3)^n + 3)/7


Et pour la 4)b, sa m'a l'air bien parti.
Bon courage

Démontrons par reccurence avec pour tout n appartient à N*, que vn=xn+yn=1

- Au premier rang,pour n=1
x1+y1=P(G1)+P(P1)
=0.5+0.5
=1

-On suppose qu'il éxiste un rang n tel que xn+yn=1
A-t-on xn+1 + yn+1=1 ?
xn+1 + yn+1=0.6xn+0.3yn+0.4xn+0.7yn
=xn+yn
=1

Donc d'après le principe de recurrence, pour tout n appartenant à N* vn=xn+yn=1

Je peux mettre cela sur ma copie ?

Moi j'aurais rédige comme sa: Pour tout n appartient à N* on pose la propriété dépendant de n suivante: Pn "wn=xn+yn=1"

Initialisation: - Au premier rang,pour n=1
w1=x1+y1=P(G1)+P(P1)
=0.5+0.5
=1

Donc P1 est vraie.

On suppose Pn vraie au rang n fixé, montrons que Pn+1 est vraie,

Hérédité:

Wn+1=xn+1 + yn+1=0.6xn+0.3yn+0.4xn+0.7yn
=xn+yn qui d'après notre hypothèse de reccurence est égal à 1.

Pn+1 est donc vraie (la propriété est donc vraie au rang n+1).

En conclusion Pn est vraie pour tout n appartenant à N*.

Donc d'après le principe de recurrence, pour tout n appartenant à N* vn=xn+yn=1 (falcutatif si tu adoptes la redaction precendente).

N'oublie pas le rang n+1 doit imperativement utiliser l'hypothèse de reccurence!