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 Fonction et corde horizontale

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oOvinceOo
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Classe/Métier (si enseignant, précisez) : Terminale S
Date d'inscription : 26/10/2011

MessageSujet: Fonction et corde horizontale   Mer 26 Oct - 23:20

J'ai un exercice de mathématiques à faire pendant les vacances en devoir maison ! J'attend une aide quelconque de votre part pour le résoudre, merci d'avance !

Enoncé :

Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1). On appelle corde horizontale tout segment joignant deux points de même ordonnée de la courbe représentative de f. L'objectif de l'exercice est de prouver que pour tout entier naturel n non nul, il existe une corde de longueur 1/n.

1° Montrer que la proposition est vraie si n = 1.
2° Dans cette question, n est supposé supérieur ou égal à 2 et on suppose que la proposition est fausse. On considère la fonction g définie sur [0;1 - 1/n] par g(x) = f(x + 1/n) - f(x).
a. Justifier la continuité de g.
b. Montrer que g ne s'annule pas sur [0;1 - 1/n].
c. En déduire que f(0)=/= f(1) et conclure.
3° On veut démontrer que le résultat précédent n'est pas valable si on remplace 1/n par un réel quelconque de ]0;1[ ne s'écrivant pas sous la forme 1/n.
Soit a ]0;1[, a=/=1/n, n E N*, et h la fonction définie sur [0;1] par :
h(x)= cos( 2Pix/a )-[cos( 2Pi/a) - 1]x
a. Montrer que h est continue sur [0;1] vérifiant la relation h(0)=h(1)
b. Montrer que la courbe représentative de h ne possède pas de corde de longueur a.

Proposition personnelle :

1° On sait que f(0)=f(1), donc deux points d'abscisses distantes de 1 ont même ordonnée (1-0=1). Or pour n=1, la longueur L de la corde est 1/n = 1/1 = 1. Cette proposition se vérifie pour n = 1.

a. g est une fonction continue car composée et différence de fonctions continues. On notera de plus une correspondance dans les intervalles de définition.
b.Puisque l'on considère la proposition de départ fausse, on a forcément f(x+1/n)=/= f(x) donc f(x+1/n) - f(x)=/=0 et donc forcément g(x)=/=0.
c.On a bien x + 1/n > x et f(x + 1/n) > f(x) donc d'après les propriétés de variation d'une fonction, f est croissante ! Ensuite si f est strictement croissante et continue, l'équation f(x)=k n'a qu'une seule solution d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires et il est donc impossible que x = 0 ait même ordonnée que x = 1 par f et donc f(0)=/= f(1)

a. h est continue car composées de fonctions continues et h(0)=h(1)=1 car :
h(0)= cos(0) = 1
h(1)= -(-1)= 1
b. Je crois qu'il faut définir un fonction k(x) = h(x+a) - h(x) en s'inspirant d'au-dessus mais après que faire ?
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rigelkrieg
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Nombre de messages : 8
Classe/Métier (si enseignant, précisez) : Enseignant Physique Chimie
Date d'inscription : 06/10/2011

MessageSujet: Re: Fonction et corde horizontale   Mar 1 Nov - 14:32

Bonjour, Désolé du retard (vacances quand tu nous tien ^^), a la bourre pour la rentrée je vais juste te donner quelques indications ...

1° On sait que f(0)=f(1), donc deux points d'abscisses distantes de 1 ont même ordonnée (1-0=1). Or pour n=1, la longueur L de la corde est 1/n = 1/1 = 1. Cette proposition se vérifie pour n = 1.

Tu postules que la longueur est 1/n or on te demande de montrer que la corde a pour longueur 1/n.
donc il convient de poser dans cet ordre la :
On sait que f(0)=f(1), donc deux points d'abscisses distantes de 1 ont même ordonnée (1-0=1). Or pour n=1, la longueur L de la corde est 1-0=1 (segment horizontale entre f(0) et f(1) ) or 1/n=1/1=1 donc vrai pour n=1



a. g est une fonction continue car composée et différence de fonctions continues. On notera de plus une correspondance dans les intervalles de définition.

(X+1)/(X-1) est composée de fonctions continue mais n'est pas continue...
afin d'éviter la confusion entre "est la composée" et "est composée" je te conseille d'utiliser "g est la somme de 2 fonctions continues sur l'intervalle de définition"

b.Puisque l'on considère la proposition de départ fausse, on a forcément f(x+1/n)=/= f(x) donc f(x+1/n) - f(x)=/=0 et donc forcément g(x)=/=0.

ok


c.On a bien x + 1/n > x et f(x + 1/n) > f(x) donc d'après les propriétés de variation d'une fonction, f est croissante ! Ensuite si f est strictement croissante et continue, l'équation f(x)=k n'a qu'une seule solution d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires et il est donc impossible que x = 0 ait même ordonnée que x = 1 par f et donc f(0)=/= f(1)

tu suppose g(x) croissante... mais tu ne l'a pas démontré!
contre exemple si f est la fonction inverse....

par contre on sait que f(x + 1/n) =/= f(x) pour tout x de l'intervalle de définition (et non supérieur comme tu le suppose)

J'arrete la... je te renvoie a ton post sur sos math pour la dernière question.... http://sgbd.ac-poitiers.fr/sosmath/viewtopic.php?f=9&t=8158 par ailleurs, par respect pour ceux à qui tu demande de l'aide 2 posts le même jours sous le même pseudo sur 2 forums différents c'est moyen Wink
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