Continuité

Bonjour je n'arrive pas à faire c'est exercice:

Soit E l'espace vectoriel des suites réelles bornées, muni de la norme ||u||=sup ||un|| (n appartenant à N).
1) Soit S:E->E l'application définie par S(u)n=un+1. Montrer que S est continue.
2) Montrer que l'application v: E->E définie par v(u)n=sin(un) est continue.

J'ai pensé tout d'abord montrer que c'est linéaire mais je n'y arrive pas je ne sais pas trop comment faire.
Pouvez-vous m'aider?
Merci.

C'est une bonne idée de montrer que S est linéaire.
Pour résoudre un problème avec des espaces vectoriels, il faut bien analyser le problème. E est l'espace vectoriel des suites réelles bornées, avec la loi + qui est : (u+v)n=un+vn.
Donc pour montrer que S est linéaire, il faut calculer S(u+v)n.
Pour tout n,
S(u+v)n = (u+v)(n+1)
= u(n+1) + v(n+1)
= S(u)n + S(v)n
Donc S est linéaire, donc continue.

Merci pour ton aide maintenant je pense réussir à fair l'exercice.
Merci.