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 Espaces métriques

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minidiane
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Date d'inscription : 06/11/2006

MessageSujet: Espaces métriques   Lun 15 Jan - 16:40

Bonjour je n'arrive pas à résoudre ces deux exercices pouvez vous maider? Merci.

Exercice1
On considère la suite de fonctions fn:[0,2] à valeur dans R définies par fn(x)=x^n/(1+x^n). Calculer lim quand n tend vers l'infinie de fn(x). Montrer que la convergence n'est pas uniforme sur [0,2] et qu'elle est uniforme sur les parties [0,a] et [b,2] avec 0<a<1<b<2. Soit epsilon>0 et soient a et b tels que 0<a<1<b<2 et b-a<epsilon/4. Montrer que
|intégrale de 0 à 2 de fn(x)dx-1|<= intégrale de 0 à a de |fn(x)|dx+intégrale de b à 2 de |fn(x)-1|dx+epsilon/2.
En déduire que lim quand n tend vers l'infini de l'intégrale de 0 à 2 de fn(x)dx=1.

Pour cet exercice je n'arrive pas à faire la dernière question.

Exercice2
Soit (E,d) un espace métrique. Soit (xn) une suite de Cauchy dans E. Montrer que la suite xn est bornée, c'est-à-dire qu'il existe y appartenant à E et r>0 tels que xn appartient à la boule ouverte de centre y et de rayon r pour tout n appartenant à N.

Ici je n'arrive pas du tout.
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