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 Fonctions développable en séries entières.

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minidiane
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MessageSujet: Fonctions développable en séries entières.   Sam 24 Mar - 11:23

Bonjour je n'arrive pas à résoudre cet exercice pouvez-vous m'aider? svp
Merci

f(x)= exp (-1/x²) si x différent de 0
f(x)=0 si x=0

1) Montrer que f est C infini sur R et f^n(x)=Pn (1/x) exp(-1/x²) si x différent de 0 avec Pn un polynôme.

2)Montrer que f^n(0)=0 quelque soit n.

3) Montrer que f n'est égale à la somme de la série de Taylor sur aucun intervalle ]-R,R[ avec R>0.

Pour la première question j'ai mis que f est C infini sur R car -/x² est C infini sur R et exp (x) aussi. Mais je ne sais pas si c'est juste et si cela suffit pour dire que f est C infini sur R. Ensuite j'ai calculé f'(x) j'ai trouvé f'(x)= 2/x² (1/x) exp(-1/x²)=P1 (1/x) exp(-1/x²). Puis j'ai fait une récurrence mais je ne sais pas si elle est correcte. f^(n+1) (x)= Pn (1/x)exp(-1/x²) + P1 (1/x)exp(-1/x²)=(1/x)exp(-1/x²)(Pn+P1)= Pn+1 (1/x)exp(-1/x²).
Puis j'ai mis donc on a bien f^n(x)=Pn (1/x)exp(-1/x²).
Est-ce que c'est correcte?
Pour la deuxième question j'ai dit que f^n(x)=0 car f(0)=0.
Et la troisième question je ne sais pas du tout comment faire.
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St@rguill
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MessageSujet: Re: Fonctions développable en séries entières.   Dim 25 Mar - 10:46

1) Pour la première question, le problème est en x=0. En effet, 1/x² n'est pas C:infini: en 0 !
Il faut donc d'abord calculer la dérivée n-ième de la fonction, et montrer que lim(f^n(x), x->:plusmoins:0)=f^n(0).
2) Ce que tu dis est faux : une fonction n'a pas ses dérivées en 0 nulles juste parce qu'elle est nulle en 0 !!! Normalement, tu l'auras démontré à la question précédente.
3) Il faut en fait montrer que f n'est pas développable en série entière.
Il doit falloir écrire la série de Taylor, et montrer que ce n'est pas la même fonction.
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minidiane
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MessageSujet: Re: Fonctions développable en séries entières.   Dim 25 Mar - 13:36

Ok merci de ton aide St@rguill je vais revoir tout sa.
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MessageSujet: Re: Fonctions développable en séries entières.   Aujourd'hui à 11:14

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Fonctions développable en séries entières.
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