Systèmes.

Bonsoir, l'exercice ci-dessous me pose problème:

1/ Décomposer 217 en produit de facteurs premiers.
2/ Vérifier que x^3 + y^3= (x+y)(x²-xy+y²).
3/ En déduire tous les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3 + y^3= 217.

Pour le 1/, on trouve 217= 7*31, par la décomposition en produit de facteurs premiers.
Quant à la 2/, on procède de la manière suivante: (x+y)(x²-xy+y²)= ... =x^3 + y^3.
La 3ème question devient plus problématique, en effet:
Sachant que les diviseurs de 217 sont 1, 7, 31 et 217. On a alors, 4 systèmes à résoudre {x+y=1 et x²-xy+y²=217 <---> {... mais, je n'arrive pas à continuer car le facteur (x²-xy+y²) me pose problème.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.

ben je pense que tu dois tester à la main, tu prends x=1,y=1 puis x=1,y=2 etc...ce facteur est symétrique, cad quand tu as testé x=1,y=2 t'as pas besoin de faire x=2,y=1.
Moi je vois que ça.
Des qu'on résout des équations avec des entiers,c'est le bordel, faut souvent faire plein de truc à la main.

En fait, je pense qu'il faut utliser la décomposition en facteurs premiers trouvée à la question 1.
Il faut donc trouver (x,y) pour que x+y = 7 et x²-xy+y² = 31 ou x+y = 31 et x²-xy+y² = 7
Personnellement, j'ai trouvé une solution...

Pour les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x^3+ y^3= 217, je trouve les couples suivants: (1;6) et (6;1).
Est-ce exact?