thérème des valeurs intermédiares

bonjour, j'ai un petit exercice à faire , mais je ne sais par où commencer c'est le n exposant qui me gène... si vous pouvait me donner quelques pistes je vous en serait très reconnaissante

soit n un entier strictement positif et f n la fonction définie tel que
fn(x)=x^n+x-1

1) montrer que l'équation fn(x)=0 a une solution unique qui appartient à l'intervalle ]0;1[.

2) retrouver ce résultat en considérent les représentation graphique des fonction x a qui on associe x^n ET x à qui on associe -X+1

3)on note u la solutuion de léquation fn(x)=0
déterminer une valeur à 10^-2 près de u1, u2 et u3


merci par avance

1/ f(0)= -1 et f(1)=1 ensuite avec le théorème des valeurs intermédiaires, tu as :
f(0)= -1 <0 et f(1)=1 >0 et f est continue sur [0,1] alors le théorème des valeurs intermédiaires dit qu'il existe un a de [0,1] tel que f(a)=0.
N'oublie pas la continuité, tu dis que f est continue car elle est composée de fonctions continues (fonction puissance n, fonction identité et fonction constante égale à 1 sont admises continues)

2/ je vois pas trop ce que le prof veut...

3/ c'est quoi u1 u2 et u3 ?

par contre shinichi je pense que tu as oublié la stricte monotonie pour dire que la solution est UNIQUE

merci, moi non plus je n'ai pas cmpris la deuxième question

Eh bien tu as x^n+x-1 = 0 <=> x^n=-x+1 ie l'intersection de x^n et de la droite -x+1

Pour n impair tu peux déjà dire que la solution est unique vu que x^n impair est strictement croissant et prend toutes les valeurs de R, donc croise forcément la droite en un unique point.

Pour n pair, tu travailles sur [0,1] donc tu sais que comme la fonction est strictement croissante sur R+ (donc sur [0,1]) avec 0^n = 0 et 1^n = A donc à valeur dans [0,1].
x-> -x +1 est strictement décroissante, et pour x € [0,1], f(x)€[0,1] donc il y aura forcément un point d'intersection entre les deux coubes.

Voilà, ce n'est surement pas rédigé super super bien, mais je pense que le principe est là

ouip Eximma, j'avais pas fait attention à l'unicité de la solution.

merci beaucoup!!

pas de problème ^^