Problème ouvert sur une fonction f.

Soit f une fonction dérivable sur ]0;1[ vérifiant les deux conditions suivantes

(i) limite de f(x) quand x tend vers 0 avec x>0= 1/2
limite de f(x) quand x tend vers 1 avec x<1= 1/2

(ii) Pour tout réel x appartenant à ]0;1[ , f'(x)<1

Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x)=x dans ]0;1[ ?


Le début de mon raisonnement:
f est une fonction dérivable sur ]0;1[ donc f est continue sur ]0;1[. D'aprés le théorème des valeurs intermédiaires pour tout réel x compris dans ]0;1[ il existe au minimum une solution de l'équation f(x)=x.
Je suis maintenant bloqué.

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si le début de mon raisonnement est juste? Et est-ce que quelqu'un pourrait me donner des indications à propos de (ii) pour continuer?

Merci à celui, celle ou ceux qui pourront m'aider.

Bonjour!!
Je viens de m'apercevoir que mon raisonnement est totalement faux!!
J'ai recommencé et je pense avoir trouvé la solution.
Si certains voudront la correction qu'ils se manifestent!^^
Au revoir et bonne rentrée.

la correction, oui ça peut être sympa de la mettre ^^