Exercice sur les distances dans un repère orthonormé

Bonjour, merci d'avance de votre aide sur cet exercice surles distances dans un repère orthonormé

Matière / Niveau: Mathématiques / 1èreS

Problème ou exercice:
On considère les points:
A(1;-1;4) B(2;1;4) C(0;0;4) D(-1;-2;4)

1) Démontrer que le quadrilaètre ABCD est un losange

2) Justifier que la droite (OC) est orthogonale au plan (ABD)

3) Déterminer le volume de la pyramide OABCD de sommet O

Où j'en suis:
1)AB = RACINE((Xb-Xa)^2 + (Yb-Ya)^2 + (Zb-Za)^2)
AB = RACINE (1^2 + 2^2 + 0) = RACINE (1+4) = RACINE DE 5

CD = RACINE((Xd-Xc)^2 + (Yd-Yc)^2 + (Zd-Zc)^2)
CD = RACINE ((-1)^2 + (-2)^2 + 0)= RACINE (1 + 4) = RACINE DE 5

Un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.
Or, AB = CD
Donc ABCD est un losange

ESt ce bon?

2) Pouvez vous m'aider sur cette question?

3) J'ai voulu calculer les longueurs des diagonales
Est ce normale que je trouve des valeurs differentes? Parce que normalement les diagonales d'un losange sont de memes longeureus non ?

JE trouve AC = Racine de 2
BD = RACINE de 18 ...

Merci de votre aide

AB =CD ne proue pas que c'est un losange
Il faut AB=BC=CD=DE
Pour la 2) , sais tu ce qu'est le produit scalaire de 2 vecteurs ?

Réponse incomplète de ma part
Il ne suffit pas que les 4 longueurs de côtés soint égales .
En effet, imagine un losange que l'on plie légèrement sur une des diagonales
on a toujours l'égalité des 4 côtés cités, mais les 4 points ne sont plus coplanaires .
Donc vérifier que les diagonales ont le même milieu.

D'ailleurs : si les diagonales ont le même milieu, on a un parallélogramme. Il suffit alors que 2 côtés consécutifs soient égauxpour avoir un losange
donc moins de calculs

Pour la 2) , si vous n'avez pas encore fait les produits scalaires :

La nature de ABCD étant déterminée
les 4 poins sont donc coplanaires
Donc le plan ABD est aussi le plan ABCD
Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, il faut et il suffit qu'elle soit perpendiculaire à 2 droites non parallèles de ce plan
Donc prouver que OC est perpendiculaire à CA par exemple
ou à CB, ou àCD ( 2 suffisent
et pour cela : Si OC est perpendiculaire à CA, alors OCA est un triangle rectangle en C

1)
AB (Xb - Xa; Yb - Ya; Zb - Za)
AB (1 ; 2; 0)

DC (Xd - Xc; Yd - Yc; Zd - Zc)
DC (1 ; 2 ; 0)
AB = DC Dont ABCD est un parallèlogramme.

AB = RACINE((Xb-Xa)^2 + (Yb-Ya)^2 + (Zb-Za)^2)
AB = RACINE (1^2 + 2^2 + 0) = RACINE (1+4) = RACINE DE 5

CD = RACINE((Xd-Xc)^2 + (Yd-Yc)^2 + (Zd-Zc)^2)
CD = RACINE ((-1)^2 + (-2)^2 + 0)= RACINE (1 + 4) = RACINE DE 5

Un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.
Or, longueur AB = longueur CD Donc ABCD est un losange

Est ce bon?

2) ABCD est un parrallélogramme donc C appartient à (ABD)
OC = RACINE((Xc-Xo)^2 + (Yc-Yo)^2 + (Zc-Zo)^2)
OC = RACINE(0+0+4^2)=RACINE DE 16 = 4
CA = RACINE((Xa-Xc)^2 + (Ya-Yc)^2 + (Za-Zc)^2)
CA = RACINE (1 + 1) = RACINE de 2
OA = RACINE((Xa-Xo)^2 + (Ya-Yo)^2 + (Za-Zo)^2)
OA = RACINE (1 + 1 + 16)= RACINE DE 18

OC^2 = 16
CA^2 = 2
OA^2 = 18

D'une part, OC^2 + CA ^2 = 18
D'autre part, OA ^2 = 18
Donc OC^2 + CA^2 = OA^2

D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle OCA est rectangle en C.
Donc (OC) est perpendiculaire à (CA)

OC = RACINE DE 16 = 4
CB = RACINE((Xb-Xc)^2 + (Yb-Yc)^2 + (Zb-Zc)^2)
CB = RACINE (4 + 1) = RACINE de 5
OB = RACINE((Xb-Xo)^2 + (Yb-Yo)^2 + (Zb-Zo)^2)
OB = RACINE (4 + 1 + 16) = RACINE De 21

OC^2 = 16
CB^2 = 5
OB^2 = 21

D'une part, OC^2 + CB ^2 = 21
D'autre part, OB ^2 = 21
Donc OC^2 + CB^2 = OB^2

D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle OCB est rectangle en C.
Donc (OC) est perpendiculaire à (CB)

Une droite D est orthogonale à un plan P si et seulement si la droite D est orthogonale à deux droites sécantes de P
Or (CB) et (CA) sont sécants en C et (OC) est perpendiculaire à (CB) et (CA) qui sont contenus dans (ABD)

Donc (OC) est orthogonale au plan (ABD)

ESt ce bon? Je n'ai pas fait les produits scalaires. N'y a til pas plus court?

3) BD = RACINE ((Xd - Xb)^2 + (Yd - Yb)^2 + (Zd - Zb)^2)
BD = RACINE (9 + 9) = RACINE de 18

Volume Pyramide = ((D * d) / 2) * h) / 2
Volume pyramide = ((BD * AC) / 2) * OC / 2
Volume pyramide = ((RACINE 18 * RACINE 2) * 4) / 2
Volume pyramide = 24 /2 = 12

Est ce bon? Et que dois je mettre comme unité? Je suis pose rien mais dois je ecrire qqe chose comme "unité de volume"?

Ca ne t'ennuirais pas le LaTeX ? Parce que là ça ne donne pas du tout l'envie de vérifier.

Je suis desole j' prendrai part la prochaine fois!
Mais pouvez vous tout de meme verifier s'il vous plait!