Devoir maison de spécialité

Bonjour,

J'ai un DM de spé Maths à faire pour demain, voici l'énoncé :

Exercice 1
Démontrer la propriété suivante par récurrence : pour tout entier n, 3^2n - 2^n est divisible par 7.

Exercice 2
Le but de l'exercice est de déterminer touts les couples (m;n) d'entiers naturels vérifiant la propriété (P) : n + (n+1) + (n+2) + ... + (n + m ) = 1000.

1) Montrer que (P) équivaut à (m+1)(2n+m) = 2000, avec m+1 < 2n + m
( on utilisera la somme de termes consécutif d'une suite géométrique ).

2) Déterminer l'ensemble D2000 des diviseurs de 2000 en utilisant sa décomposition en facteurs premiers.

3) En étudiant chacun des couples d'entiers dont le produit est 2000, déterminer l'ensemble des couples (m;n) solutions du problème.

Exercice 3
Existe-t'il des couples d'entiers naturels (n;k) vérifiant 2^8 + 2^11
+ 2^n = k² ? Supposons que de tels couples existent.

1) Montrer que cela ésuivaut à 2^n = (k+48)(k-48).

2) En déduire alors l'existence de 2 entiers s et t vérifiant :
a) k+48 = 2^s, k-48 = 2^t, s+t= n et s > t
b) 2^t(2^s-t - 1) = 96 avec 2^s-t - 1 impair.

3) a) Donner la décomposition de 96 en facteurs premiers.
b) Quelles sont les seules valeurs possibles pour s et t ?
c) En déduire l'unique couple (n;k) solution au problème posé.



Je l'ai presque terminé. J'ai juste quelques questions :

Exercice 1 = Fini. Mais pourquoi -2^(n+1)=-2^n*2 et pas = -2^n*-2 ?
( je me suis aidée de ma calculatrice mais je ne comprends pas )

Exercice 2 =

1) Pourquoi m+1 < 2n+m ? ( et j'ai utilisé la somme de termes d'une suite arithmétique, le professeur s'est trompé non ? )

3) L'ensemble des couples, mais il n'y en a qu'un non ? m = 95 et n = 15. D'ailleurs comment présenter la solution ? Comme ça : S = {95;15} ?

Exercice 3 =

Je bloque sur la 2) et la 3) ( je vois bien que 48 + 48 = 96 mais bon =S )

3) a. 96 = 2^5*3
b. t=5 et s=7 ?
c. n=12 et k=80 .. Encore une fois on présente la solution S={12;80} ou pas ??


Merci d'avance.

Anne-So

alors pour l'exercice 1 : fais gaffe à la priorité des opérateurs, (-2)^(n+1) est différent de -(2^(n+1)), la calculatrice ne cherche pas à savoir où est la priorité si tu ne met pas de parenthèse.

pour le reste, je sais pas, la spé maths remonte à loin pour moi '^^