polynome

bonsoir j'ai un devoir maison pouvez vous vérifier svp
Merci d'avance

exercice 1 :
Pour tout nombre complexe z , on pose : P(x)= z^3-2z²+z-2

1)montrer que 2 est une racine du polynome P

P(2)= (2)^3-(2)(2)²+2-2
p(2) = 0

donc 2 est une racine du polynome
est ce que racine du polynome = zéro du polynome ?

2) en déduire une factorisation de p(z)

2 est un zéro du polynome factorisable sous forme : (x-2)(ax²+bx+c)

developper : ax^3+bx²+cx-2ax²-2bx-2c
ordonner : ax^3 + bx²-2ax²+cx-2bx-2c
identifier : ax ^3= z^3 donc a=1

bx²-2ax² = -2z²
b-2 = -2
b = 0

-2c=-2
c=1

donc p(x) = (x-2) (x²+0x+1) = (x-2) ( x²+1)

3) résoudre dans C l'équation p(z) = 0

x-2=0 x²+1=0
x=2 x² = 1 ou -1 donc x = racine de 1 et -racine de 1

4) résoudre dans c l'équation ( z-1 / z+1 )^3-2(z-1 /z+1)² + (z-1 /z+1 ) -2 =0

pour celui la je bloque :s

Code:

Salut,

Tout me semble bon.

Pour la 4), pose Z = z-1 / z+1, tu te retrouves sur une équation que tu as déjà résolu... Il te suffit donc de résoudre les solutions Z que tu trouves = z-1 / z+1

(exemple, tu as trouvé 1 comme racine, tu dois résoudre z-1 / z+1 = 1, idem pour -1 )

donc enfainte z'=2 donc j'ai juste a remplacer les z par 2 ?

ah nan j'ai compris mais comment montrer que (z-1/z+1)^3 = z^3 ? idem pour le reste

(z-1)/(z+1)=2
donc sa fait
z-1 = 2(z+1)
z-1 = 2z +2
z -2z = 2 +1
-z = 3
z = -3 je vois pa a quoi ce résultat peut nous servir :s

idem pour les autre
(z-1)/(z+1) = i
z-1 = i(z+1)
z- 1 = iz + i
z-iz ....

Eh bien ce -3 que tu as trouvé est une des solutions de ton équation (celle avec des puissance 3)

pour résoudre celle que tu ne sais pas faire, tu pose z = x+iy, tu isoles parties réelles et imaginaires et ça devrait le faire

donc j'ai juste a trouver les 3 z mais a la fin comment revenir sur z^3-2z²+z-2 ? ou je met juste s={-3 ...}

Non, tu as déjà trouvé les racines de ce polynome non ? Les trois autres racines que tu as trouvé (qui devraient être -3, i, -i) sont les solutions de ( z-1 / z+1 )^3-2(z-1 /z+1)² + (z-1 /z+1 ) -2 =0