Convergence d'une suite

je dois démontrer si une suite Un définie par : U0=a Un+1= f(Un) tel que Un= (2Un^3 +a)/(3Un^2 + 1) ou a est un reel strictement positif , est bornée , monotone et convergente .

Voila le résultat auquel j'ai abouti :
Par hypothèse U0 >0 donc U1= f(U0) > 0 , U2= f(U1) >0 ... Un+1=f(Un) > 0
on peut voir que U1<U0 , ainsi le terme Un se trouve entre 0 et a
or (0, a ) est un maximum , et U2=f(U1)<a d'ou Un+1=f(Un) <a
donc Un n'est pas monotone car la fonction est donc décroissante entre 0 et (a/2)^(1/3) puis est croissante entre (a/2)^(1/3) et +infinie.
Si donc Uo est entre (a/2)^(1/3) et +infinie, et que U1<Uo
et pour montrer que Un est décroissante et minoré, si f est croissante et que U1<U0 alors on voit que Un est décroissante , elle est minoré, et le point fixe ne peut-être que la limite

Que pensez vous de ma rédaction ??
Merci à tous !