resoudre une des plus célébre formule d'euler

Bonjour,
j'ai un dm à faire pendant les vacances et je n'arrive pas à le commencer
Le but du problème est de montrer que


notations: on a :
et on designe f par l'apllication qui es clairement definie sur et à valeur dans

Pour cela il y a plusieurs parties.
Partie I :Etude de f et résolution de l'équation (En)

on écrit que
dont on en deduit l'expression pour tout entier naturel n

1. Soit
A quelle(s) condition(s) sur l'équation f(z) = admet-elle des solutions ?

Et voila je bloque sur la premiere question ! Je comprend pas car on ne connait pas

Merci d'avance

il suffit d'écrire ce que l'équation signifie....

f(z)=w <=> (z-i)/(z+i)=w => z-i=w(z+i) <=> (1-w)z-(1-w)i=0

or cette relation doit être vrai pour tout z de Df ainsi, pour que cette expression soit vérifier, il faut que 1-w=0....

Donc les conditions sur est qu'il doit étre différent de 1

Je me demandais juste si l'équation ça ne serait pas (1-w)z-i(1+w)=0 ?
Donc w doit etre différent de -1 et w différent de 1 ??

Merci d'avance

erreur dans mon précédent message (je veux faire trop de chose en tappant sur mon pc lol)
l'équation est:

(1-w)z-(1+w)i=0

Deux cas:

- w=1 dans ce cas, (1+w)i=0 => pas de solution

- w n'est pas égal à 1, et on obtient z=(1+w)i/(1-w)

pas de probleme =)

voila, normalement, plus d'erreurs ^^

Merci beaucoup
je vais regarder la suite et je reviendrais au cas ou
Encore merci

mais de rien, le plaisir est pour moi ^^

Dans cette question 1) il y a une sous question qui est
Lorsqu'elle admet, calculer ses solutions et montrer qu'elles sont distinctes de -i.

J'ai repondu :f(z)= (z-i)/(z+i) avec zdifférent de -i
donc le resultat que l'on obtient avant qui est z=(1+w)i / (1-w) est différent de -i

Est ce que c'est juste ???

2) En deduire que f realise uen bijection de \{-i}sur \{1}et expliciter sa reciproque

Je sais que pour montrer que f realise une bijection il faut montrer que f est continue, strictement monotone sur\{-i}, alors f realise uen bijection de \{-i} sur \{1}
Mais je vois pas comment on peut faire ici !?!

3) soient \{-i} et \{1} VErifier que

Je pense avoir trouver pour la première :

Je dois rien dire d'autre ?
et pour la deuxième je bloque, j'écrit ça :

3) Etude de la restriction de f à H
1) Montrer que

Et la je vois pas comment je peux faire

MeRci d'avance pour votre aide !

pour la 1 as tu démontré que z n'est pas égale à -i pour toute valeur de w?




pour la 2, La vraie définition d'un bijection est:

pour tout y de l'ensemble d'arrivé, il existe un unique x de Df tel que f(x)=y

En effet, le terme de monotone est délicat en ce qui concerne les complexes....

Pour démontrer la bijection, procède en deux étapes:

il faut que tu démontre l'existence d'un x pour tout y de C privé de 1 (tu l'as déja fait en disant que l'équation avec w admet des solutions)

Il faut maintenant que tu prouves l'unicité. Pour cela suppose qu'il n'y a pas unicité, donc qu'il existe x1 et x2 dans Df tels que f(x1)=f(x2)



Pour la 3, je ne suis pas du tout d'accord avec ton raisonnement (le module d'une somme n'est pas la somme des modules) ^^



En ce qui concerne f^-1(w), ce n'est pas 1/f(w)...
en fait, pour t'expliquer, c'est ce qu'on appelle la fonction réciproque:
f(z)=w => f^-1(w)=z

Avec cette explication, tu devrais t'en sortir mieux





Pour la suite, on verra plus tard :p, fais déja cela


(PS: tu as ce problème à faire en TS???)

Tout d'abord désollé c'est vrai que j'ai oublié de changer mon profil avec le début de l'année scolaire, je suis en classe préparatoire PCSI.

pour la question 1)
dans la première partie on a dit que z=(1+w)i / (1-w) avec w différent de 1

et dans la 2eme partie la question est : Lorsqu'elle en admet, calculer ses solutions ( donc je pense que c'est ce qu'on a deja calculer z=(1+w)i / (1-w) avec w différent de 1) et montrer qu'elles sont disctintes de -i.
Et là J'ai repondu :f(z)= (z-i)/(z+i) avec z différent de -i
donc le resultat que l'on obtient avant qui est z=(1+w)i / (1-w) est différent de -i

C'est bon ?

JE vais travailler ce que tu m'as dis
Merci beaucoup

Pour la question 2 : En deduire que f réalise de C\{-i} sur C \{1} et expliciter sa réciproque f^-1

Alors j'ai écrit (est ce que je dois écrire on démontre l'existence du'n x pour tout y de C\{-i} ?? ou j'écrit directement la réponse ??)
Il existe bien un \{-i}, d'après la question précédente, pour tout w de C\{-i}

(prouver l'unicité)
On suppose qu'il n'y a pas d'unicité, donc qu'il existe z1 et z2 dans C\{-i} ( ou Df ???) tels que f(z1)=f(z2)
Donc f(z1)=f(z2)=w
donc
donc il y a bien unicité

donc f realise une bijection de C\{-i} sur C \{1} et expliciter sa réciproque f^-1

Mon raisonnement est juste ???

Pour sa reciproque je vois pas trop ce qu'il veulent dire par l'expliciter.
Je dirais bien qu'elle varie comme f de C\{-i} sur C \{1}
Il faut dire autre chose ?


Question 3)
après avoir repris ce que tu m'as dit
j'ai ecrit :
Mais là j'ai un petit problème :

et pour la deuxième partie de la 3)
f(z)= w donc f(w)^-1 =z

Mais la je bloque.

Merci d'avance pour ton aide !

Pour le 2, ta démonstration est juste, tu as bien démontré la bijection ainsi que l'existence de f^-1.

Pour expliciter f^-1, bah en fait, tu l'as fait dans le 3 en disant f^-1(w)=...




Pour la 3 avec le module, tu as bien commencer. Mais avant de conclure, détail bien les choses (z=a+ib) et la, tu devrais voir où se situe ton erreur (mais tu es sur la bonne voix )

Cependant, en ce qui concerne la partie imaginaire de f^-1(w), tu as fait une grosse erreur... w est un complexe... donc w=c+id..... réfléchis à cela

Merci beaucoup pour ton aide



Pour la deuxieme partie du petit 3
Im (f^-1(w)) = Im {(i+wi) / ( 1-w)

= Im { (i+xi-y) / ( 1-x-iy)} avec w =x+iy

(on multiplie par le conjugue du denominateur et on developpe )

j'obtiens

= Im (-2y / ((1-x)²+y²) + i { (1-x²-y²)/((1-x)²+y²))

=(1-x²-y²) / ( (1-x)²+y²)

= 1- |w|² / (|1-w|²)



Parti 3 : Etude de la restrction de f a H

1) montrer que

soit z appartenant a H donc z appartenant a C/ Im(z)>0

or on sait que z = f^-1 (w)
donc que Im(z) = Im(f^-1(w))
et la j'ai developpé mais je ne sais pas si c'est la meilleur methode car ça ne me donne rien de concret et je reste bloqué.

Sinon j'ai essayer avec



(celle de gauche !!)

et j'ai essayer d'isoler le Im(z)

et sa me donne Im(z) = ( |z|²+1 + |z|²* |f(z)|² + |f(z)|²) / 2( 1+|f(z)|²) >0



donc |z|² > (-1- |f(z)|² ) / ( 1- |f(z)|²)



Mais bon la aussi je met un bemol ...

f^-1(w)=z

Im(z)>0 => Im(f^-1(w))>0 <=> 1- |w|² / (|1-w|²)>0
=> 1- |w|² >0 <=> 1> |w|² donc w appaertient à D donc f(z) appartient à D....

Merci beaucoup !!!

la question qui suit et en relation directe avec cette derniere
En deduire que f réalise une bijection de H sur D.

d'apres la question précédente, il existe bien un z apartenant à H ainsi qu'à D pour tout w.

est ce qu'il faut aussi prouver l'unicité ?

biensur qu'il faut prouver l'unicité ^^

Pour la prouver je fais comme on a fait la derniere fois ?

C'est bon je pense que j'ai compris comment faire

question suivante 4)
1) Montrer que z appartient a R <=> f(z) appartient U\{1}


soit z appartenant a R <=> z appartenant C \ Im(z) =0
|f(z)|² = |z|² +1 - 2 Im(z) / |z|² +1 + 2 Imp(z) mais Im(z) = 0
donc |f(z)|² = |z|² +1 / |z|² +1 = 1
donc |f(z)| = 1
CQFD

Ca va comme méthode ?

2) Il faut en deduire la bijection donc je vait refaire comme precedement

5) Verifier que f^-1 (ei ^O) = - cotan (O/2)
j'ai reussi ^^

6) REsolution de l'eaquation (En)
1) Montrer que z est solution de (En) si et seulement
(z appartenant C\{-i} et f(z) appartenant U(2n+1) \{1} )

La j'ai du mal il faux utiliser les bijection ??

Merci d'avance pour ton aide

je verrai cela demain, je n'ai pas le temps aujourd'hui ^^

Ce que tu as fait me parait bon

Pour la question pour laquelle tu as du mal... il suffit d'écrire l'équation et la réponse apparait tout de suite

Réfléchis encore un petit peu et dis le moi si tu ne trouves pas

Oui c'est bon j'ai reussi à trouver ! et j'ai fait un maximum de question et j'ai donc rendu mon DM aujourd'hui

MERCI beaucoup pour ton aide c'était vraiment sympas !!!

MERci

mais de rien

bon courage pour la suite de la prépa, je ne pourrai surement pas toujours t'aider comme ici, je le fais sur mes souvenirs de prépa (qui commence à dater) et dans certains domaines, je risque d'être limite (enfin, avec du temps, ça irai surement ^^)

Si tu as besoin de conseils sur la "gestion" de la prépa ou sur les orientations post prépa, n'hésites pas non plus