DM sur les complexes et les suites.

Bonjour tout le monde!

Voilà je bloque sur mon dm depuis la semaine dernière et j'aimerai beaucoup avoir de l'aide. Merci d'avance.

Soit n un réel naturel (n>1) et x un réel ( x2k, k).
On pose Cn = 1 + cosx + cos2x + ... + cosnx et Sn = sinx + sin2x + ... + sinnx.

1. Démonter que pour tout réel , 1 - expi = -2sin (/2)expi/2 .

2. On note le nombre complexe = expix. Vérifier que 1 et démontrer que Cn + iSn = (1 - n+1)/(1 - ).

3. En déduire que Cn = ((sin(n+1)/2)x/(sinx/2))*cos nx/2 et que Sn = ((sin(n+1)/2)x/(sinx/2)*sinnx/2.

4. Dans toute la suite on suppose que x = /n et on pose
cn = cos/n + cos2/n + ... + cos(n-1)/n et sn = sin/n + sin 2/n + ... + sin(n-1)/2 .
a. Démontrer que cos(n-1/2*/2) = sin /2n et sin(n-1/2*/2) = cos /2n .
b. A l'aide de la question 3 démontrer que cn = 0 et que sn = 1/tan/2n .
c. Prouver que quand h0, tanh/h1 .
d. Calculer alors la limite de la suite de terma général sn/n .